Copyright © WordPress Luxeritas Theme is provided by " 布は漸近的に正規分布に近似する*（ベイズ流の中心極限定 理）→事前分布の選択が重要ではない – 1785年にラプラスが証明。古典的な中心極限定理よりも前であった 第4回データサイエンス・ラウンドテーブル会議 (2017/03/09) 8 「分布は互いに独立であり,平均・分散が存在することが条件」と書いてあります. 数学は面白いこと、不思議なことがいっぱい！数学に関する不思議なことや面白いことを、数学が苦手な人にもわかるように丁寧に紹介しています。数学や数字が好きになってくれたらうれしいです！MenuSidebarPrevNextSearchベイズの定理を理解するために、一つひとつ順を追って、この記事を読み終わったときには、必ずベイズの定理を理解できているはずですよ。「ベイズの定理」は数学の確率の分野に属してしますが、普通の確率と少し違うポイントがあります。まずは、その違いについてイメージを持つことからはじめましょう。 例えば、普段の生活で確率という言葉がよく登場するものの一つに天気予報があります。「明日の降水確率は80%です。」といったものです。このように、日常生活で一般的な確率の概念は、です。ここで「通常、確率は未来の予想に使うのが一般的ですね。 しかし、ベイズの定理では、時間軸が逆になります。次のような感じです。のように、つまり、言い換えると、となります。現在すでに起こった結果から、それが起こった原因を推測するのですね。以下にその実例を紹介しましょう。 例えば、ある犯罪が起きたとします。それは以下のような殺人事件でした。容疑者は、A氏、B氏、C氏の三人です。「このような手口の犯罪が発生したが、このような条件での殺害方法ははA氏の犯行である可能性が一番高い！」といった感じです。殺害状況という現在分かっている「結果」から、その「原因」である容疑者を探し出すのです。 ベイズの定理特有の、この時間軸の方向を常に意識しておくことが初学者にとってもっとも大切なことだと私は思っています。 では、以下からベイズの定理の理解へ向けて、必要なことを学んでいきましょう。一つずつ確実に理解していけば、この記事を読み終わるときには、ベイズの定理とは何かを理解して、実際に使えるようになっているはずですよ！ まず、ベイズの定理を理解する上での第一歩として、”条件付き確率とは、参考書などの説明によると、”ある事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる確率”ということです。しかし、初めて聞いた人はいまいちイメージが湧かないかもしれません。 実際に、例を使って説明しましょう。いま袋の中に赤い玉と青い玉が三つずつ入っているとします。さらに、玉にはそれぞれ1,2と番号が振ってあります。下の画像のような感じです。赤い玉は(1,1,2)の三つが、青い玉には(1,2,2)の三つがあります。 この袋の中から一つの玉をランダムに取り出したところ、赤い玉でした。この赤い玉の数字が1である確率はなんでしょう。この場合の「一つの玉をランダムに取り出したところ、赤い玉でした。」というところが、条件付き確率の 取り出した玉が赤い玉がであったということですね。このように、” このような条件付き確率を解くときには、以下の公式を使います。※この公式がなぜ成り立つかについては後ほど説明します。$$Pr(B|A) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}$$初学者には見慣れない記号ばかりだと思いますので、一つ一つ説明しましょう。 まず、\(Pr(B|A)\)は、$$Pr(B|A) = \text{事象Aが起こったという条件のともで、事象Bが起こる確率}$$を表現しています。\(Pr(A)\)と\(Pr(A \cap B)\)は、\begin{align}を表しています。 では、この公式を使って例題を解いてみましょう。事象Aと事象Bを以下のように考えます。と置けば、\(Pr(B|A)\)は上記の定義により、「赤い玉を取り出したときに、その玉の番号が1である確率」となります。これはまさに今考えている問題で欲しい答えですね。ですので、\(Pr(B|A)\)を上記の公式を使って求めていくことになります。 事象Aは「赤い玉を取り出した」ということです。これが起こる確率\(Pr(A)\)は、$$Pr(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$です。 次に、事象Aと事象Bが同時に起こるというのは、赤い玉でなおかつ数字が1の玉を取り出すということです。よって、この確率\(Pr(A \cap B)\)は、$$Pr(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ですね。 これで、\(Pr(A)\)と\(Pr(A \cap B)\)が分かりました。これを、条件付き確率の公式、$$Pr(B|A) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}$$に代入すると、\begin{align}となります。\(Pr(B|A)\)が求まりました。よって、取り出した玉が赤い玉がであったという条件のもとで、数字が1である確率は\(\frac{2}{3}\)であるとなります。 この問題は公式を使わなくても感覚的に、”取り出した玉が赤いときは、その数字が1である確率が\(\frac{2}{3}\)”であることが分かったかもしれません。確かに、この例題のように単純な問題は、感覚的に解くこともできます。しかし、少し複雑な問題になると、感覚では解けなくなるので、この例題のような簡単な問題で条件付き確率の公式を使うことに慣れておくことが大切です。 ここで学んだ条件付き確率の詳しい解説は、以下のページで行っています。不安な人は、一読しておきましょう。条件付き確率 – 例題を使ってわかりやすく解説しますこの記事ではこんなことを書いています 確率の中でも”条件付き確率”を学んでいきます。 学び始めは少し ... ベイズの定理への第一ステップは、上で解説した条件付き確率でした。次に、第二ステップは”これは、条件付き確率の式をちょっとだけ変形したものです。ベイズの定理を構成する重要な要素となりますので、ここもしっかりと理解して先へ進みましょう。 復習ですが、条件付き確率の式は、$$Pr(B|A) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}$$と表現することができました。この式は、”事象Aが起こったという条件のともで、事象Bが起こる確率”を表現しているのでしたね。 ここから両辺に\(Pr(A)\)を掛けて、以下のように式を変形しましょう。$$Pr(A \cap B) = Pr(B|A) \times Pr(A)$$※右辺と左辺を入れ替えています。これが乗法定理です。 以上が乗法定理の式ですが、この式のちょっとした性質も知っておきましょう。上の乗法定理の式は、事象Aと事象Bを入れ替えても何も問題ないはずです。ですので、$$Pr(B \cap A) =Pr(A|B) \times Pr(B)$$も成り立ちます。ここでよく考えると、\(Pr(A \cap B)\)と\(Pr(B \cap A)\)はどちらも「事象Aと事象Bが同時に起こる確率」を表しているため、$$Pr(A \cap B) = Pr(B \cap A)$$ですね。よって、上記2式より、$$Pr(A \cap B) =Pr(A|B) \times Pr(B)$$が成り立ちます。これが紹介したかったちょっとした性質です。要は、右辺のAとBを入れ替えても成り立ちますよ！ということです。 $$Pr(A \cap B) = Pr(B|A) \times Pr(A)$$は、何を表しているのでしょうか？それを少しだけ考えておきましょう。 それぞれの\(Pr\)は、\begin{align}です。つまり、乗法定理は、事象Aと事象Bが同時に起こる確率\(Pr(A \cap B)\)は、事象Aが起こったという条件のもと事象Bが起こる確率\(Pr(B|A)\)に事象Aが起こる確率\(Pr(A)\)を掛けたものであるということです。 以下は乗法定理を使った例題です。袋の中に赤い玉と青い玉が三つずつ入っているとします。ここから、Aさんが一つ玉を取り出します。玉の色を確認した後、その玉を袋に戻します。次に、Bさんが同じように一つ玉を取り出します。このとき、AさんもBさんも赤い玉を取り出す確率を求めましょう。この問題を解いてみましょう。 乗法定理を考えます。$$Pr(A \cap B) = Pr(B|A) \times Pr(A)$$事象Aと事象Bを、とすれば、\(Pr(A \cap B)\)は、$$Pr(A \cap B) = \text{AさんとBさんがどちらも赤い玉を取り出す確率}$$となります。これがいまの問題で求めたい答えそのものですね。 また、\(Pr(B|A)\)は、$$Pr(B|A) = \text{Aさんが取り出したのは赤い玉だったという条件のもとBさんが赤い玉を取り出す確率}$$です。しかし、Aさんは取り出した玉を袋に戻すため、Bさんが赤い玉を取り出す確率はAさんの結果に左右されません。※一方の結果に、もう一方の結果が左右されない（依存しない）ということを”独立である”と言います。いまの場合は、一度取り出した玉を袋の中に戻すため独立が成り立ちます。なので、\(Pr(B|A)\)は単に、\(Pr(B)\)と同じことですので、$$Pr(B|A) = Pr(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$となります。 最後に、Aさんが赤い玉を取り出す確率\(Pr(A)\)も、$$Pr(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ですので、これらを乗法定理に代入して、$$Pr(A \cap B) = Pr(B|A) \times Pr(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$です。よって、$$\text{AさんとBさんがどちらも赤い玉を取り出す確率} = \frac{1}{4}$$となります。これが、乗法定理の使い方です。 いよいよ、ベイズの定理の説明です。まずは、ベイズの定理を導出してみましょう。 ここまでに学んできた式の整理します。まず、第一ステップでは、条件付き確率の式を学びました。$$Pr(B|A) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}$$です。それぞれの確率\(Pr\)の意味は、\begin{align}ですね。 第二ステップでは、乗法定理を学びました。この式は、条件付き確率の式を少し変形して、$$Pr(A \cap B) = Pr(A|B) \times Pr(B)$$と書けました。※AとBが入れ替わっても成り立つ「乗法定理のちょっとした性質」で導出した式となっていることに注意してください。 ここで、上式の乗法定理を条件付き確率の式に代入しましょう。すると、$$Pr(B|A) = \frac{Pr(A|B) \times Pr(B)}{Pr(A)}$$と書けます。これがもっとも簡単な 上の式は、もっとも簡単なベイズの定理でしたが、さらに一般的な形へ変形していきます。 まず、事象Bは事象Aが起こるという条件のもとで、複数の事象（\(B_1, B_2, B_3, \cdots\, B_k\)）が起こる可能性があるとします。これは、例えばサイコロを二回振ることを考えると理解できます。サイコロを一回振って3の目が出た（事象A）という条件のもと、次にサイコロを振ったときに起こる事象Bは、サイコロの目が1,2,3,4,5,6の六パターンあり、複数事象あります。※一回目に振ったサイコロは二回目のサイコロの目になんの影響も及ぼしません（すなわち独立です）。なので、ここで複数の事象の中のある一つの事象という意味で、事象\(B\)を事象\(B_i\)とします。すると、上式は、$$Pr(B_i|A) = \frac{Pr(A|B_i) \times Pr(B_i)}{Pr(A)}$$と書けます。 さらに、右辺の分母\(Pr(A)\)は、$$Pr(A) = Pr(A \cap B_1)+Pr(A \cap B_2)+ \cdots Pr(A \cap B_k)$$と書けます。 例えば、サイコロを考えます。事象\(A\)を”1の目が出る確率”とすれば、確率\(Pr(A)\)は、$$Pr(A) = \frac{1}{6}$$というのは、すぐに分かるでしょう。事象\(B_i\)はサイコロの場合、六パターンあり、となります。\(Pr(A \cap B_1)\)であれば、事象\(A\)と事象\(B_1\)が同時に起こる確率であり、この場合はどちらも一の目が出る確率となります。よって、$$Pr(A \cap B_1) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$となります。これは、\(B_i\)の\(i=1,2,3,4,5,6\)についてすべて同じ確率ですので、$$Pr(A \cap B_1)+Pr(A \cap B_2)+ \cdots Pr(A \cap B_6) = \frac{1}{36} \times 6 = \frac{1}{6}$$ですね。よって、$$Pr(A) = Pr(A \cap B_1)+Pr(A \cap B_2)+ \cdots Pr(A \cap B_k)$$が成り立つことが分かったと思います。 では、この\(Pr(A)\)を、$$Pr(B_i|A) = \frac{Pr(A|B_i) \times Pr(B_i)}{Pr(A)}$$に代入すると、$$Pr(B_i|A) = \frac{Pr(A|B_i) \times Pr(B_i)}{Pr(A \cap B_1)+Pr(A \cap B_2)+ \cdots Pr(A \cap B_k)}$$となり、さらに乗法定理（\(Pr(A \cap B_i) = Pr(B_i) Pr(A|B_i)\)）を使うと、$$Pr(B_i|A) = \frac{Pr(A|B_i) \times Pr(B_i)}{Pr(B_1) Pr(A|B_1)+Pr(B_2) Pr(A|B_2)+ \cdots Pr(B_k) Pr(A|B_k)}$$です。 最後に、シグマ記号を使って表現すると、$$Pr(B_i|A) = \frac{Pr(A|B_i) Pr(B_i)}{\sum_{j=1}^{k} Pr(A|B_j) Pr(B_j)}$$となります。これが一般的な 公式だけではイメージが掴めません。最後に実際にベイズの定理を使ってみましょう。以下の例題を解いてみましょう。以下のように3つの箱の中に、当たりくじとはずれくじが入っています。箱A、B、Cに入っているくじは、です。 この箱の中からくじを一つ取り出したとき、そのくじは「あたり」でした。ただし、このくじがどの箱から取り出されたものかは分かりません。 このとき、くじが箱Bから取り出された確率はいくらでしょうか？まず、ベイズの定理を思い出しましょう。一般的な形は以下のような式でしたね。$$Pr(B_i|A) = \frac{Pr(A|B_i) Pr(B_i)}{\sum_{j=1}^{k} Pr(A|B_j) Pr(B_j)}$$この左辺\(Pr(B_i|A)\)は事象\(A\)が起こったという条件のもとで、事象\(B_i\)が起こる確率を表していますので、ここでは箱Bから取り出すということで\(i=2\)として、事象\(A\)と事象\(B_2\)は次のように設定しましょう。つまり、\(Pr(B_2|A)\)は、取り出されたくじがあたりだったとき、そのくじが箱Bから取り出されたものである確率ということになります。これを求めることが、例題を解くことになります。 次にベイズの定理の右辺ですが、事象\(B_j\)を袋\(j\)から玉を取り出すという行為に設定すると、いま袋は1,2,3の三つですので、\(j=1,2,3\)のみとなります。よって、ベイズの定理は、$$Pr(B_2|A) = \frac{Pr(A|B_2) Pr(B_2)}{Pr(A|B_1) Pr(B_1) + Pr(A|B_2) Pr(B_2) + Pr(A|B_3) Pr(B_3)}$$となります。 まずは、右辺の\(Pr(B_1), Pr(B_2), Pr(B_3)\)を考えてみましょう。これは、箱A、B、Cからくじが取り出された確率ですが、どの箱が選ばれるかはランダムと考えてよいので、$$Pr(B_1)=Pr(B_2)=Pr(B_3)=\frac{1}{3}$$とどの箱が選ばれたかという確率は平等として考えることが妥当です。 次に、\(Pr(A|B_1)\)ですが、これは事象\(B_1\)が起こった（箱Aからくじが取り出された）という条件のもと、事象Aが起こる（あたりくじが取り出される）確率です。よって、箱Aに入っているあたりくじとはずれくじの数を考えると、$$Pr(A|B_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$です。同様に、\(Pr(A|B_2)\)と\(Pr(A|B_3)\)は、なので、\begin{align}です。 あとは、これらをベイズの定理に代入して、\begin{align}よって、取り出されたくじがあたりだったとき、そのくじが箱Bから取り出された確率は\(12.5\%\)となります。どうでしょうか？自分の感覚と比べてベイズの定理から導かれた答えは妥当ですか？ ここでは、くじ引きという例題を解いてみましたが、ベイズの定理を使った例題として有名なものに病気の確率を推測するというものがあります。この例では自分の感覚と全く違う答えがベイズの定理によって明らかになります。面白いですので、ぜひご覧ください↓病気の確率はどのくらい？ – ベイズの定理の例題この記事ではこんなことを書いています 確率のパラドックスとしてよく話題になる、”病気の確率”の問題 ...この記事はこのようなことを書いています 最近は、「宝くじは買わない方がいい」、「 ...この記事はこんなことを書いてます トランプの並びは何通りあるのでしょうか。 例え ...この記事はこんなことを書いています 囚人たち死刑・釈放をめぐる確率問題を紹介しま ...この記事はこんなことを書いてます ここでは、モンティ・ホール問題についてできるだ ...この記事ではこんなことを書いています ビュフォンの針実験という面白い実験がありま ...ベイズは、とても面白いですね。ようやくわかりました。
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