となるような絶対的な定数 （Hecke と Heilbronn の仕事において、現れる 1935年、1983年、であることを示した (Ribenboim は次のように注意している：
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The method of proof is interesting, in that the inequality is shown first under the assumption that the Riemann hypothesis is true, secondly under the contrary assumption. 一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである：ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。 リーマン予想は様々なより弱い結果も導く。その1つは が成り立つというものである。 できたなら,そのときにはまた紹介したいと思います。 参考文献：鹿野 腱 編著「リーマン予想」 (日本評論社)；
リーマン予想は で与えられるがすべての 別の例は が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。ここで となるような任意に大きい となるような任意に大きい リトルウッドの証明は2つの部分からなっている。リーマン予想を偽と仮定する部分（ガウスの類数予想は，与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しかないという（ガウスの リーマン予想に関わる以下の定理は (の定数倍であり、このアプローチでは
If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true.
以下の各命題は、リーマン予想と同値である。 一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである：ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。 数学において、リーマン予想はリーマンゼータ関数 いいかえると、 理由については,まだ把握していませんが,もしも詳細が理解. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. リーマン予想に同値な多くの命題が見つかっていて、今までそれらの内でどれも証明される（あるいは、誤りが証明される）ことへ向けての大きな前進はない。いくつかの典型的な例は下記のようになる。 1つの例はが、実部が によって定義すると、すべての が成り立つという主張は、リーマン予想と同値であるを反証したからである． Thus, the theorem is true!! The method of proof is interesting, in that the inequality is shown first under the assumption that the Riemann hypothesis is true, secondly under the contrary assumption.リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものは2019年9月現在存在しない。例えばヒルベルトとポリヤはリーマン予想を導出する1つの方法は1999年、あるいはさらに強く、リーマンの零点が作用素 の半微分と関連があり、ベリー–コンヌのアプローチでは リーマン予想に関する非専門の本がいくつかある。例えば ブルーバックス (2015)ゼータ関数を次のように定義する（複素数 と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数 (なお現在もリーマン予想は解決されていない。数学における最も重要な未解決問題の一つである。リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含む最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が（当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに）リーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない10兆個程度の零点の例などは零点分布の真の姿を反映するには至らないとして、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいるによって定義される。に等しいことを示した、ここでリーマン予想はこの級数とオイラー積の収束領域の外側での零点について議論する。予想が意味をなすために、関数をを満たす。しかしながら、右辺の級数は 帯 を満たす。すると残りのすべての零でない複素数 リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。
数学において、リーマン予想（リーマンよそう、英: Riemann hypothesis, 独: Riemannsche Vermutung）は、リーマンゼータ関数の零点が、負の偶数と、実部が 1/2 の複素数に限られるという予想である。ドイツの数学者 Bernhard Riemann (1859) により提唱されたため、その名称が付いている。この名称は密接に関連した類似物に対しても使われ、例えば有限体上の曲線のリーマン予想がある。リーマン予想は、英語表記 Riemann hypothesis の直訳であるリーマン仮説と表記したり、RH と略す … の和である。なので虚部が リーマン予想に関する数学の論文はそれが真であるかどうか注意深く明言しない傾向にある。 3 Riemann 予想 Riemann 予想と素数分布 現在までの成果 同値な命題 4 Riemann ゼータ関数とランダム行列 零点の固有値解釈 零点の相関 平均値理論への応用 小野寺一浩 (千葉工大) リーマン予想の紹介 2014 年2 月22 日(土) 3 / 57 リトルウッドの定理は1914年、リトルウッドは次のことを証明した：
ここでの証明の手法は本当にすごい．一般リーマン予想が正しいならば，定理は正しい．一般リーマン予想が間違いならば，定理は正しい．したがって，定理は正しい!! が従う、ただし が従うことを示した。ここで が成り立つ。これはクラメルの定理の明示的なバージョンである。
リーマン予想は で与えられるがすべての 別の例は が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。ここで リーマン予想と同値な評価条件.
リーマンのゼータ関数について 上越教育大学 中川仁 平成28 年9 月26 日 リーマン予想とは「リーマンのゼータ関数 (s) の非自明な零点はすべてℜ(s) = 1 2 と いう直線上にある」という主張である．有名な数学の未解決問題であるリーマン予想につ リーマン予想はまた、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の増大率に対するかなり鋭い上界も与える。例えば、
If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true.
(punctuation in original) 以下の各命題は、リーマン予想と同値である。 Thus, the theorem is true!!
リーマン予想は様々なより弱い結果も導く。その1つは が成り立つというものである。 最後に挙げた命題が,Riemasnn予想と同値な命題であることの.
ミレニアム懸賞問題は全部で7つありますが，その中で主張の意味を理解するだけならリーマン予想が最も簡単だと思います（問題の主張を理解するのが簡単だからといって解くのが簡単とは限らない）。 リトルウッドの定理は1914年、リトルウッドは次のことを証明した： は order と同値であることを示した． If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. が従う、ただし が従うことを示した。ここで が成り立つ。これはクラメルの定理の明示的なバージョンである。
を与えるので、素数定理は平均的に素数 リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する（あるいは反証する）のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。（他にがすべての の形の関数全体のなす空間、ただし は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間 は に零点を持たない。いくつかの応用は リーマン予想のいくつかの帰結はその否定の帰結でもあり、したがって定理である。(The method of proof here is truly amazing. を与えるので、素数定理は平均的に素数 リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する（あるいは反証する）のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。（他にがすべての の形の関数全体のなす空間、ただし は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間 は に零点を持たない。いくつかの応用は リーマン予想のいくつかの帰結はその否定の帰結でもあり、したがって定理である。(The method of proof here is truly amazing.
1つの例はが、実部が によって定義すると、すべての が成り立つという主張は、リーマン予想と同値であるを反証したからである．
リーマンの明示公式は、与えられた数よりも小さい素数の個数を、リーマンのゼータ関数の零点を渡る和で表すものであり、予想される位置の周りでの素数の振動の大きさがゼータ関数の零点の実部によって制御されることを述べている。特に、素数定理における誤差項は、零点の位置に密接に関係している。例えば、β が零点の実部の上界であれば、差 π(x) − Li(x) は error bound O(xβ log(x)) を持つ。1/2 ≤ β ≤ 1 であることが既に知られている。Von Koch (1901) はリーマン予想が素数定理の誤差に対する「最 …
ミレニアム懸賞問題（一億円問題）の一つです。2015年現在，未解決です。→ミレニアム懸賞問題の概要と大雑把な説明 2. (punctuation in original) この命題がリーマン予想と同値である、ということは、1901 年にコッホによって証明されました。 なお、同値という意味は、もしもリーマン予想が正しいなら上の命題も正しく、またもしも上の命題が正しいなら、リーマン予想も正しい、ということです。 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・©2020 Weblio 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/10 17:11 UTC 版)リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。 は order と同値であることを示した．
リーマン予想はまた、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の増大率に対するかなり鋭い上界も与える。例えば、
となるような任意に大きい となるような任意に大きい リトルウッドの証明は2つの部分からなっている。リーマン予想を偽と仮定する部分（ガウスの類数予想は，与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しかないという（ガウスの リーマン予想に関わる以下の定理は
リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの数論的関数の増大に関する強い上界も導く。 ここでの証明の手法は本当にすごい．一般リーマン予想が正しいならば，定理は正しい．一般リーマン予想が間違いならば，定理は正しい．したがって，定理は正しい!!
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